然而很可惜的是……
这个被林托看作是学徒级固定上限的操作，实际上是有点反人类因素的。
这个“固定”的问题，已知的进展和答案，貌似穷尽天下都难以得到解答。
这个问题目前没有最终的、被严格证明的解析解，它仍然是一个开放性问题。但数学界已经提出了一个非常强的候选解，以及一个公认的（但未证明的）最大值。
1公认的候选解：harsley沙发（或称“转角沙发”）
形状：它由一个半径为1的半圆和连接在其直径上的一个矩形组成，矩形的另一侧被挖掉一个较小的、半径也为1的四分之一圆。
面积：这种形状的面积为22074。
特点：它设计巧妙，在拐角处旋转时，半圆部分贴着外角墙，内凹的四分之一圆部分则贴着内角墙，充分利用了空间。
2当前的最佳方案：gerver沙发
在1992年，数学家josephgerver提出了一个更优的形状。
形状：它由18段不同的曲线平滑连接而成，形状更加复杂和优美。它不是一个简单的几何拼接。
面积：gerver沙发的面积约为22195（略大于harsley沙发的22074）。
地位：gerver推测这个形状可能就是最优解，并且从数值上和几何对称性上给出了有力的支持，但严格的数学证明尚未完成。所以，gerver沙发是目前已知的、能通过拐角的面积最大的形状。
3理论上的最大面积上界
有人证明了通过这个拐角的形状，其面积不可能超过2828。
更优的上界通过“带角支撑的支撑函数”等方法被压缩到约237。
所以，最优解的面积一定介于22195和约237之间。
学徒级别的固定，就是找到了在一个局限的范围之中，最适合它的结构。
例如一个转刀，往往只需要三分之一的钢材，就能够完成三个孔的加工。
这些就是人类的极限，也就是在宇宙之中被称之为学徒的水平，换言之也是林托之前能够达到的水准。
那么在系统奖励之后的【精英级固定】呢？
到了这个阶段的技巧固定已经不再是一个所谓的在有限域值中寻找答案的结构，而是一个指哪固哪的操作，他可以轻易证明这个问题的答案，同样也可以将这个问题应用到一切生活实际之